Selesaikan {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=4$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Gantikan \frac{4+2y}{5} dengan x dalam persamaan lain, x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Tambahkan \frac{2y}{5} pada -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

Tolak \frac{4}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{14}{3}$$

Gantikan \frac{14}{3} dengan y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

Darabkan \frac{2}{5} dengan \frac{14}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada \frac{28}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Untuk menjadikan 5x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

Tolak 5x-5y=-10 daripada 5x-2y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+5y=4+10$$

Tambahkan -2y pada 5y.

$$3y=4+10$$

Tambahkan 4 pada 10.

$$3y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

Gantikan \frac{14}{3} dengan y dalam x-y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Tambahkan \frac{14}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$