Selesaikan {l}{text{StationI:Solvetheratio}}{2x}{2x/5-x^2-x-10/x^2+8x+15=3/x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { Station I: Solve the ratio } } \\ { 2 x } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { x ^ { 2 } - x - 10 } { x ^ { 2 } + 8 x + 15 } = \frac { 3 } { x + 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,-3 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x+3\right)\left(x+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+8x+15,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x+5\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+3 dengan x+5 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\left(x^{2}+8x+15\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+8x+15 dengan 5.

$$5x^{2}+40x+75-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-x-10, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$5x^{2}+40x+75-x^{2}+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 5x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$4x^{2}+40x+75+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 40x dan x untuk mendapatkan 41x.

$$4x^{2}+41x+75+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Tambahkan 75 dan 10 untuk dapatkan 85.

$$4x^{2}+41x+85=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+5 dengan 3.

$$4x^{2}+41x+85=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+41x+85-3x=15$$

Gabungkan 41x dan -3x untuk mendapatkan 38x.

$$4x^{2}+38x+85=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+38x+85-15=0$$

Tolak 15 daripada 85 untuk mendapatkan 70.

$$4x^{2}+38x+70=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$2x^{2}+19x+35=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 2x^{2}+ax+bx+35. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=19 ab=2\times 35=70$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 70.

$$1,70 2,35 5,14 7,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+70=71 2+35=37 5+14=19 7+10=17$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 19.

$$a=5 b=14$$

Tulis semula 2x^{2}+19x+35 sebagai \left(2x^{2}+5x\right)+\left(14x+35\right).

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(14x+35\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 7 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(2x+5\right)+7\left(2x+5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x+5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x+5\right)\left(x+7\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2x+5=0 dan x+7=0.

$$x=-\frac{5}{2} x=-7$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,-3 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x+3\right)\left(x+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+8x+15,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x+5\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+3 dengan x+5 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\left(x^{2}+8x+15\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+8x+15 dengan 5.

$$5x^{2}+40x+75-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-x-10, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$5x^{2}+40x+75-x^{2}+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 5x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$4x^{2}+40x+75+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 40x dan x untuk mendapatkan 41x.

$$4x^{2}+41x+75+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Tambahkan 75 dan 10 untuk dapatkan 85.

$$4x^{2}+41x+85=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+5 dengan 3.

$$4x^{2}+41x+85=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+41x+85-3x=15$$

Gabungkan 41x dan -3x untuk mendapatkan 38x.

$$4x^{2}+38x+85=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+38x+85-15=0$$

Tolak 15 daripada 85 untuk mendapatkan 70.

$$4x^{2}+38x+70=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 38 dengan b dan 70 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 38.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-16\times 70}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali 70.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1120}}{2\times 4}$$

Tambahkan 1444 pada -1120.

$$x=\frac{-38±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-38±18}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-38±18}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-38±18}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -38 pada 18.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Kurangkan pecahan \frac{-20}{8} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-38±18}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada -38.

$$x=-\frac{56}{8}$$

Bahagikan -56 dengan 8.

$$x=-7$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2} x=-7$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -5,-3 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x+3\right)\left(x+5\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+8x+15,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x+5\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+3 dengan x+5 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\left(x^{2}+8x+15\right)\times 5-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+8x+15 dengan 5.

$$5x^{2}+40x+75-\left(x^{2}-x-10\right)=\left(x+5\right)\times 3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-x-10, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$5x^{2}+40x+75-x^{2}+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 5x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$4x^{2}+40x+75+x+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Gabungkan 40x dan x untuk mendapatkan 41x.

$$4x^{2}+41x+75+10=\left(x+5\right)\times 3$$

Tambahkan 75 dan 10 untuk dapatkan 85.

$$4x^{2}+41x+85=\left(x+5\right)\times 3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+5 dengan 3.

$$4x^{2}+41x+85=3x+15$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+41x+85-3x=15$$

Gabungkan 41x dan -3x untuk mendapatkan 38x.

$$4x^{2}+38x+85=15$$

Tolak 85 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+38x=15-85$$

Tolak 85 daripada 15 untuk mendapatkan -70.

$$4x^{2}+38x=-70$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+38x}{4}=-\frac{70}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{38}{4}x=-\frac{70}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{38}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{19}{2}x=-\frac{70}{4}$$

Kurangkan pecahan \frac{-70}{4} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{19}{2}x=-\frac{35}{2}$$

Bahagikan \frac{19}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{19}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{19}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{19}{2}x+\left(\frac{19}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{2}+\left(\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{19}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=-\frac{35}{2}+\frac{361}{16}$$

Tambahkan -\frac{35}{2} pada \frac{361}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{19}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{19}{4}=-\frac{9}{4}$$

Tolak \frac{19}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{5}{2} x=-7$$