Selesaikan {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Darabkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 12.

$$y+2z=12$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Darabkan 2 dan 7 untuk mendapatkan 14.

$$5y+14z=48$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+2z=12$$

Tolak 2z daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2z+12$$

Gantikan -2z+12 dengan y dalam persamaan lain, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Darabkan 5 kali -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Tambahkan -10z pada 14z.

$$4z+60=48$$

Tolak 60 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4z=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$z=-3$$

Gantikan -3 dengan z dalam y=-2z+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Darabkan -2 kali -3.

$$y=6+12$$

Tambahkan 12 pada 6.

$$y=18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=18,z=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Darabkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 12.

$$y+2z=12$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Darabkan 2 dan 7 untuk mendapatkan 14.

$$5y+14z=48$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan z.

$$y=18,z=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Darabkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 12.

$$y+2z=12$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Darabkan 2 dan 7 untuk mendapatkan 14.

$$5y+14z=48$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Untuk menjadikan y dan 5y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Permudahkan.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Tolak 5y+14z=48 daripada 5y+10z=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10z-14z=60-48$$

Tambahkan 10z pada -14z.

$$-4z=60-48$$

Tambahkan 60 pada -48.

$$-4z=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$z=-3$$

Gantikan -3 dengan z dalam 5y+14z=48. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Darabkan 14 kali -3.

$$5y-42=48$$

Tambahkan 42 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=18,z=-3$$