Selesaikan {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan \frac{4}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2\left(3x-4\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y+2-3x=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4-2$$

Tolak 2 daripada -4 untuk mendapatkan -6.

$$2y-3x=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan -\frac{11}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-3x=11$$

Gabungkan 5x dan -3x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+y=11$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2y-3x=-6$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=3x-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Gantikan \frac{3x}{2}-3 dengan y dalam persamaan lain, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Tambahkan \frac{3x}{2} pada 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=\frac{3}{2}x-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 4.

$$y=6-3$$

Tambahkan -3 pada 6.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan \frac{4}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2\left(3x-4\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y+2-3x=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4-2$$

Tolak 2 daripada -4 untuk mendapatkan -6.

$$2y-3x=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan -\frac{11}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-3x=11$$

Gabungkan 5x dan -3x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+y=11$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=3,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan \frac{4}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2\left(3x-4\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$2y+2-3x=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$2y-3x=-4-2$$

Tolak 2 daripada -4 untuk mendapatkan -6.

$$2y-3x=-6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan -\frac{11}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$5x+y-3x=11$$

Gabungkan 5x dan -3x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+y=11$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Untuk menjadikan 2y dan y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Permudahkan.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Tolak 2y+4x=22 daripada 2y-3x=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3x-4x=-6-22$$

Tambahkan -3x pada -4x.

$$-7x=-6-22$$

Tambahkan -6 pada -22.

$$-7x=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y+2x=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+2\times 4=11$$

Darabkan 2 kali 4.

$$y+8=11$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=4$$