Selesaikan {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$2x-6-5y=-35$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$2x-5y=-35+6$$

Tambahkan -35 dan 6 untuk dapatkan -29.

$$2x-5y=-29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13y daripada kedua-dua belah.

$$11x-13y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-5y=-29$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5y-29$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Gantikan \frac{5y-29}{2} dengan x dalam persamaan lain, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Darabkan 11 kali \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Tambahkan \frac{55y}{2} pada -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Tambahkan \frac{319}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=11$$

Gantikan 11 dengan y dalam x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Darabkan \frac{5}{2} kali 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Tambahkan -\frac{29}{2} pada \frac{55}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=13$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=13,y=11$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$2x-6-5y=-35$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$2x-5y=-35+6$$

Tambahkan -35 dan 6 untuk dapatkan -29.

$$2x-5y=-29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13y daripada kedua-dua belah.

$$11x-13y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=13,y=11$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$2x-6-5y=-35$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$2x-5y=-35+6$$

Tambahkan -35 dan 6 untuk dapatkan -29.

$$2x-5y=-29$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 13y daripada kedua-dua belah.

$$11x-13y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 11x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 11 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Permudahkan.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Tolak 22x-26y=0 daripada 22x-55y=-319 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Tambahkan 22x pada -22x. Seubtan 22x dan -22x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-55y+26y=-319$$

Tambahkan -55y pada 26y.

$$-29y=-319$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -29.

$$y=11$$

Gantikan 11 dengan y dalam 11x-13y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$11x-13\times 11=0$$

Darabkan -13 kali 11.

$$11x-143=0$$

Tambahkan 143 pada kedua-dua belah persamaan.

$$11x=143$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=13$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=13,y=11$$