Selesaikan {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 92.

$$x+92y=5336$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 79.

$$79x-y=4503$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+92y=5336$$

Tolak 92y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-92y+5336$$

Gantikan -92y+5336 dengan x dalam persamaan lain, 79x-y=4503.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

Darabkan 79 kali -92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

Tambahkan -7268y pada -y.

$$-7269y+421544=4503$$

Tolak 421544 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7269y=-417041$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Gantikan \frac{417041}{7269} dengan y dalam x=-92y+5336. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

Darabkan -92 kali \frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

Tambahkan 5336 pada -\frac{38367772}{7269}.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 92.

$$x+92y=5336$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 79.

$$79x-y=4503$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 92.

$$x+92y=5336$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 79.

$$79x-y=4503$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

Untuk menjadikan x dan 79x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 79 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

Permudahkan.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

Tolak 79x-y=4503 daripada 79x+7268y=421544 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

Tambahkan 79x pada -79x. Seubtan 79x dan -79x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7268y+y=421544-4503$$

Tambahkan 7268y pada y.

$$7269y=421544-4503$$

Tambahkan 421544 pada -4503.

$$7269y=417041$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

Gantikan \frac{417041}{7269} dengan y dalam 79x-y=4503. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

Tambahkan \frac{417041}{7269} pada kedua-dua belah persamaan.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 79.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$