Selesaikan {l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

Darabkan 8 kali y-\frac{5}{2}.

$$x=8y-20$$

Gantikan 8y-20 dengan x dalam persamaan lain, 3x+\frac{1}{3}y=13.

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

Darabkan 3 kali 8y-20.

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

Tambahkan 24y pada \frac{y}{3}.

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{73}{3}y=73$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{73}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=8y-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=8\times 3-20$$

Darabkan 8 kali 3.

$$x=24-20$$

Tambahkan -20 pada 24.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

Untuk menjadikan \frac{x}{8} dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{8}.

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

Permudahkan.

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

Tolak \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8} daripada \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

Tambahkan \frac{3x}{8} pada -\frac{3x}{8}. Seubtan \frac{3x}{8} dan -\frac{3x}{8} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

Tambahkan -3y pada -\frac{y}{24}.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

Tambahkan -\frac{15}{2} pada -\frac{13}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{73}{24} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 3x+\frac{1}{3}y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 3.

$$3x+1=13$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=3$$