Selesaikan {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,10.

$$2x-20=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-20-y=0$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x+45+7y=0$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x+7y=-45$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=20$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Gantikan \frac{y}{2}+10 dengan x dalam persamaan lain, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Darabkan 5 kali \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Tambahkan \frac{5y}{2} pada 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -10.

$$x=-5+10$$

Tambahkan 10 pada -5.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,10.

$$2x-20=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-20-y=0$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x+45+7y=0$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x+7y=-45$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,10.

$$2x-20=y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2x-20-y=0$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x+45+7y=0$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x+7y=-45$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Permudahkan.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Tolak 10x+14y=-90 daripada 10x-5y=100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5y-14y=100+90$$

Tambahkan -5y pada -14y.

$$-19y=100+90$$

Tambahkan 100 pada 90.

$$-19y=190$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam 5x+7y=-45. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Darabkan 7 kali -10.

$$5x-70=-45$$

Tambahkan 70 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-10$$