Selesaikan {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 47.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

Darabkan 47 kali -y+86.

$$x=-47y+4042$$

Gantikan -47y+4042 dengan x dalam persamaan lain, x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

Tambahkan -47y pada \frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

Tolak 4042 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{1174}{25} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Gantikan \frac{99825}{1174} dengan y dalam x=-47y+4042. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

Darabkan -47 kali \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

Tambahkan 4042 pada -\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Untuk menjadikan \frac{x}{47} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{47}.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

Tolak \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} daripada \frac{1}{47}x+y=86 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Tambahkan \frac{x}{47} pada -\frac{x}{47}. Seubtan \frac{x}{47} dan -\frac{x}{47} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Tambahkan y pada -\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Tambahkan 86 pada -\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{1174}{1175} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Gantikan \frac{99825}{1174} dengan y dalam x+\frac{1}{25}y=49. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

Darabkan \frac{1}{25} dengan \frac{99825}{1174} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

Tolak \frac{3993}{1174} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$