Selesaikan {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,8.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$10x-3y=72$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=24$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Gantikan \frac{3y}{2}+12 dengan x dalam persamaan lain, 10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

Darabkan 10 kali \frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

Tambahkan 15y pada -3y.

$$12y+120=72$$

Tolak 120 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -4.

$$x=-6+12$$

Tambahkan 12 pada -6.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,8.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$10x-3y=72$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 8, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,8.

$$2x-3y=24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$10x-3y=72$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Tolak 10x-3y=72 daripada 2x-3y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Tambahkan -3y pada 3y. Seubtan -3y dan 3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-10x=24-72$$

Tambahkan 2x pada -10x.

$$-8x=24-72$$

Tambahkan 24 pada -72.

$$-8x=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam 10x-3y=72. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$10\times 6-3y=72$$

Darabkan 10 kali 6.

$$60-3y=72$$

Tolak 60 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-4$$