Selesaikan {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$x+2y=28$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4x-3y=24$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=28$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+28$$

Gantikan -2y+28 dengan x dalam persamaan lain, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Darabkan 4 kali -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Tambahkan -8y pada -3y.

$$-11y+112=24$$

Tolak 112 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=-88$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-2y+28. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 8+28$$

Darabkan -2 kali 8.

$$x=-16+28$$

Tambahkan 28 pada -16.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$x+2y=28$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4x-3y=24$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,2.

$$x+2y=28$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4x-3y=24$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Permudahkan.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Tolak 4x-3y=24 daripada 4x+8y=112 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+3y=112-24$$

Tambahkan 8y pada 3y.

$$11y=112-24$$

Tambahkan 112 pada -24.

$$11y=88$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam 4x-3y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-3\times 8=24$$

Darabkan -3 kali 8.

$$4x-24=24$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=8$$