Selesaikan {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 36.

$$x-36y=756$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-36y=756$$

Tambahkan 36y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=36y+756$$

Gantikan 756+36y dengan x dalam persamaan lain, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

Darabkan 20 kali 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

Tambahkan 720y pada -y.

$$719y+15120=320$$

Tolak 15120 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$719y=-14800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Gantikan -\frac{14800}{719} dengan y dalam x=36y+756. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

Darabkan 36 kali -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

Tambahkan 756 pada -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 36.

$$x-36y=756$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 36.

$$x-36y=756$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20.

$$20x-y=320$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Untuk menjadikan x dan 20x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 20 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

Permudahkan.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

Tolak 20x-y=320 daripada 20x-720y=15120 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-720y+y=15120-320$$

Tambahkan -720y pada y.

$$-719y=15120-320$$

Tambahkan 15120 pada -320.

$$-719y=14800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Gantikan -\frac{14800}{719} dengan y dalam 20x-y=320. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

Tolak \frac{14800}{719} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$