Selesaikan {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3x+5y=15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=48$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Gantikan \frac{3y}{2}+24 dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Darabkan 3 kali \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -6.

$$x=-9+24$$

Tambahkan 24 pada -9.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3x+5y=15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=15,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x-3y=48$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,3.

$$3x+5y=15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Tolak 6x+10y=30 daripada 6x-9y=144 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-10y=144-30$$

Tambahkan -9y pada -10y.

$$-19y=144-30$$

Tambahkan 144 pada -30.

$$-19y=114$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 3x+5y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Darabkan 5 kali -6.

$$3x-30=15$$

Tambahkan 30 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=-6$$