Selesaikan {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,5.

$$5x+3y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Darabkan -6 dan 2 untuk mendapatkan -12.

$$5x-12y=-120$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=105$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+105$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Gantikan -\frac{3y}{5}+21 dengan x dalam persamaan lain, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Darabkan 5 kali -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Tambahkan -3y pada -12y.

$$-15y+105=-120$$

Tolak 105 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-15y=-225$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali 15.

$$x=-9+21$$

Tambahkan 21 pada -9.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,5.

$$5x+3y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Darabkan -6 dan 2 untuk mendapatkan -12.

$$5x-12y=-120$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 15, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,5.

$$5x+3y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 30, gandaan sepunya terkecil sebanyak 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Darabkan -6 dan 2 untuk mendapatkan -12.

$$5x-12y=-120$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Tolak 5x-12y=-120 daripada 5x+3y=105 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+12y=105+120$$

Tambahkan 3y pada 12y.

$$15y=105+120$$

Tambahkan 105 pada 120.

$$15y=225$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam 5x-12y=-120. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-12\times 15=-120$$

Darabkan -12 kali 15.

$$5x-180=-120$$

Tambahkan 180 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=15$$