Selesaikan {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 36, gandaan sepunya terkecil sebanyak 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Selesaikan 3x+4y=1 untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Kuasa dua -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Darabkan 4 kali \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Tambahkan 9y^{2} pada \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} dengan a, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 dengan b dan -\frac{320}{9} dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Kuasa dua 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Darabkan -4 kali 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Darabkan -\frac{580}{9} dengan -\frac{320}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Tambahkan \frac{1024}{81} pada \frac{185600}{81} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Ambil punca kuasa dua 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Nombor bertentangan 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ialah \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Darabkan 2 kali 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} apabila ± ialah plus. Tambahkan \frac{32}{9} pada 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Bahagikan \frac{464}{9} dengan \frac{290}{9} dengan mendarabkan \frac{464}{9} dengan salingan \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} apabila ± ialah minus. Tolak 48 daripada \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Bahagikan -\frac{400}{9} dengan \frac{290}{9} dengan mendarabkan -\frac{400}{9} dengan salingan \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk y: \frac{8}{5} dan -\frac{40}{29}. Gantikan \frac{8}{5} dengan y dalam persamaan x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan \frac{8}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} pada \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Sekarang gantikan -\frac{40}{29} dengan y dalam persamaan x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi x yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{40}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Tambahkan -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) pada \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$