Selesaikan {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 10 dengan x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tolak 20 daripada 20 untuk mendapatkan 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$10x+4y-5x=20$$

Gabungkan 10x dan -5x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+4y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3x+3y-x=8$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+4y=20$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-4y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Gantikan -\frac{4y}{5}+4 dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Darabkan 2 kali -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Tambahkan -\frac{8y}{5} pada 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{4}{5}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 10 dengan x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tolak 20 daripada 20 untuk mendapatkan 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$10x+4y-5x=20$$

Gabungkan 10x dan -5x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+4y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3x+3y-x=8$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 10 dengan x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tolak 20 daripada 20 untuk mendapatkan 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah.

$$10x+4y-5x=20$$

Gabungkan 10x dan -5x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+4y=20$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Tambahkan -1 dan 9 untuk dapatkan 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3x+3y-x=8$$

Gabungkan 3x dan -x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3y=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Permudahkan.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Tolak 10x+15y=40 daripada 10x+8y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-15y=40-40$$

Tambahkan 8y pada -15y.

$$-7y=40-40$$

Tambahkan 40 pada -40.

$$-7y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x+3y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$