Selesaikan {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Gabungkan 3y dan 2y untuk mendapatkan 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$3x+5y-5=54$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$3x+5y=54+5$$

Tambahkan 54 dan 5 untuk dapatkan 59.

$$3x+5y=59$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$2x+1+3y=48$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=48-1$$

Tolak 1 daripada 48 untuk mendapatkan 47.

$$2x+3y=47$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=59$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y+59$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Gantikan \frac{-5y+59}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Darabkan 2 kali \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Tolak \frac{118}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-23$$

Gantikan -23 dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Tambahkan \frac{59}{3} pada \frac{115}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=58$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=58,y=-23$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Gabungkan 3y dan 2y untuk mendapatkan 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$3x+5y-5=54$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$3x+5y=54+5$$

Tambahkan 54 dan 5 untuk dapatkan 59.

$$3x+5y=59$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$2x+1+3y=48$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=48-1$$

Tolak 1 daripada 48 untuk mendapatkan 47.

$$2x+3y=47$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=58,y=-23$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Gabungkan 3y dan 2y untuk mendapatkan 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Tolak 2 daripada -3 untuk mendapatkan -5.

$$3x+5y-5=54$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$3x+5y=54+5$$

Tambahkan 54 dan 5 untuk dapatkan 59.

$$3x+5y=59$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$2x+1+3y=48$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$2x+3y=48-1$$

Tolak 1 daripada 48 untuk mendapatkan 47.

$$2x+3y=47$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Permudahkan.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Tolak 6x+9y=141 daripada 6x+10y=118 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-9y=118-141$$

Tambahkan 10y pada -9y.

$$y=118-141$$

Tambahkan 118 pada -141.

$$y=-23$$

Gantikan -23 dengan y dalam 2x+3y=47. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Darabkan 3 kali -23.

$$2x-69=47$$

Tambahkan 69 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=116$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=58$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=58,y=-23$$