Selesaikan {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+2\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-2y=4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-2y=4-3$$

Tolak 3 daripada 4 untuk mendapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2.

$$3x-6=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-6-y=-1$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-1+6$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x-y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=1$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{2y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Tambahkan 2y pada -y.

$$y+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{8}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+2\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-2y=4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-2y=4-3$$

Tolak 3 daripada 4 untuk mendapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2.

$$3x-6=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-6-y=-1$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-1+6$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x-y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+2\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-2y=4$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-2y=4-3$$

Tolak 3 daripada 4 untuk mendapatkan 1.

$$3x-2y=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-2.

$$3x-6=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-6-y=-1$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-1+6$$

Tambahkan -1 dan 6 untuk dapatkan 5.

$$3x-y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Tolak 3x-y=5 daripada 3x-2y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+y=1-5$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y=1-5$$

Tambahkan 1 pada -5.

$$-y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 3x-y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-4=5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$