Selesaikan {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Gabungkan 18x dan -15x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Gabungkan 8y dan 6y untuk mendapatkan 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tolak 33 daripada kedua-dua belah.

$$3x+14y=78-33$$

Tolak 33 daripada 78 untuk mendapatkan 45.

$$3x+14y=45$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+14y=45$$

Tolak 14y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-14y+45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

Gantikan -\frac{14y}{3}+15 dengan x dalam persamaan lain, 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

Darabkan 13 kali -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Tambahkan -\frac{182y}{3} pada -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

Tolak 195 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{203}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{14}{3}y+15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

Darabkan -\frac{14}{3} kali 3.

$$x=-14+15$$

Tambahkan 15 pada -14.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Gabungkan 18x dan -15x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Gabungkan 8y dan 6y untuk mendapatkan 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tolak 33 daripada kedua-dua belah.

$$3x+14y=78-33$$

Tolak 33 daripada 78 untuk mendapatkan 45.

$$3x+14y=45$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Gabungkan 18x dan -15x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Gabungkan 8y dan 6y untuk mendapatkan 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tolak 33 daripada kedua-dua belah.

$$3x+14y=78-33$$

Tolak 33 daripada 78 untuk mendapatkan 45.

$$3x+14y=45$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Untuk menjadikan 3x dan 13x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 13 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Permudahkan.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

Tolak 39x-21y=-24 daripada 39x+182y=585 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Tambahkan 39x pada -39x. Seubtan 39x dan -39x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$182y+21y=585+24$$

Tambahkan 182y pada 21y.

$$203y=585+24$$

Tambahkan 585 pada 24.

$$203y=609$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 203.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 13x-7y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$13x-7\times 3=-8$$

Darabkan -7 kali 3.

$$13x-21=-8$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$13x=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$