Selesaikan {l}{7/2x+7/4y=-2}{-2/3x+1/2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 2 } x + \frac { 7 } { 4 } y = - 2 } \\ { - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{243}{35} = -6\frac{33}{35} \approx -6.942857143$$

$$y = \frac{446}{35} = 12\frac{26}{35} \approx 12.742857143$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{7}{2}x+\frac{7}{4}y=-2,-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{7}{2}x+\frac{7}{4}y=-2$$

Tolak \frac{7y}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}x=-\frac{7}{4}y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2}{7}\left(-\frac{7}{4}y-2\right)$$

Darabkan \frac{2}{7} kali -\frac{7y}{4}-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{4}{7}$$

Gantikan -\frac{y}{2}-\frac{4}{7} dengan x dalam persamaan lain, -\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=11.

$$-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}y-\frac{4}{7}\right)+\frac{1}{2}y=11$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali -\frac{y}{2}-\frac{4}{7}.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{21}+\frac{1}{2}y=11$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{8}{21}=11$$

Tolak \frac{8}{21} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{6}y=\frac{223}{21}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{446}{35}$$

Gantikan \frac{446}{35} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y-\frac{4}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{446}{35}-\frac{4}{7}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{446}{35} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{223}{35}-\frac{4}{7}$$

Tambahkan -\frac{4}{7} pada -\frac{223}{35} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{243}{35}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{243}{35},y=\frac{446}{35}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{7}{2}x+\frac{7}{4}y=-2,-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&\frac{7}{4}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{7}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{\frac{7}{4}}{\frac{7}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{7}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{7}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{7}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{7}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}&-\frac{3}{5}\\\frac{8}{35}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}\left(-2\right)-\frac{3}{5}\times 11\\\frac{8}{35}\left(-2\right)+\frac{6}{5}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{243}{35}\\\frac{446}{35}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{243}{35},y=\frac{446}{35}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{7}{2}x+\frac{7}{4}y=-2,-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=11$$

Untuk menjadikan \frac{7x}{2} dan -\frac{2x}{3} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{2}{3} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{7}{2}.

$$-\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}x-\frac{2}{3}\times \frac{7}{4}y=-\frac{2}{3}\left(-2\right),\frac{7}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)x+\frac{7}{2}\times \frac{1}{2}y=\frac{7}{2}\times 11$$

Permudahkan.

$$-\frac{7}{3}x-\frac{7}{6}y=\frac{4}{3},-\frac{7}{3}x+\frac{7}{4}y=\frac{77}{2}$$

Tolak -\frac{7}{3}x+\frac{7}{4}y=\frac{77}{2} daripada -\frac{7}{3}x-\frac{7}{6}y=\frac{4}{3} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{7}{3}x+\frac{7}{3}x-\frac{7}{6}y-\frac{7}{4}y=\frac{4}{3}-\frac{77}{2}$$

Tambahkan -\frac{7x}{3} pada \frac{7x}{3}. Seubtan -\frac{7x}{3} dan \frac{7x}{3} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{7}{6}y-\frac{7}{4}y=\frac{4}{3}-\frac{77}{2}$$

Tambahkan -\frac{7y}{6} pada -\frac{7y}{4}.

$$-\frac{35}{12}y=\frac{4}{3}-\frac{77}{2}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -\frac{77}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{35}{12}y=-\frac{223}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{35}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{446}{35}$$

Gantikan \frac{446}{35} dengan y dalam -\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{446}{35}=11$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan \frac{446}{35} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{223}{35}=11$$

Tolak \frac{223}{35} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{162}{35}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{243}{35}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{243}{35},y=\frac{446}{35}$$