Selesaikan {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-11$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan x.

$$y+1=-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+1+2x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y+2x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{4-y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

Darabkan 2 kali \frac{4-y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-11$$

Gantikan -11 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -11.

$$x=\frac{11+4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada \frac{11}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-11$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan x.

$$y+1=-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+1+2x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y+2x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-11$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$3x+y=2\times 2$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$3x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan x.

$$y+1=-2x$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+1+2x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$y+2x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Tolak 2x+y=-1 daripada 3x+y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-2x+y-y=4+1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-2x=4+1$$

Tambahkan 3x pada -2x.

$$x=4+1$$

Tambahkan 4 pada 1.

$$x=5$$

Gantikan 5 dengan x dalam 2x+y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\times 5+y=-1$$

Darabkan 2 kali 5.

$$10+y=-1$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-11$$