Selesaikan {l}{3a+1/4-4b-1/7=1}{a+1/3-b+2/4=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 a + 1 } { 4 } - \frac { 4 b - 1 } { 7 } = 1 } \\ { \frac { a + 1 } { 3 } - \frac { b + 2 } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=173$$

$$b=226$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 28, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Tambahkan 7 dan 4 untuk dapatkan 11.

$$21a+11-16b=28$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$21a-16b=28-11$$

Tolak 11 daripada 28 untuk mendapatkan 17.

$$21a-16b=17$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$4a-2-3b=12$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$4a-3b=12+2$$

Tambahkan 12 dan 2 untuk dapatkan 14.

$$4a-3b=14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$21a-16b=17$$

Tambahkan 16b pada kedua-dua belah persamaan.

$$21a=16b+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$a=\frac{1}{21}\left(16b+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{21} kali 16b+17.

$$a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}$$

Gantikan \frac{16b+17}{21} dengan a dalam persamaan lain, 4a-3b=14.

$$4\left(\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}\right)-3b=14$$

Darabkan 4 kali \frac{16b+17}{21}.

$$\frac{64}{21}b+\frac{68}{21}-3b=14$$

Tambahkan \frac{64b}{21} pada -3b.

$$\frac{1}{21}b+\frac{68}{21}=14$$

Tolak \frac{68}{21} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{21}b=\frac{226}{21}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 21.

$$b=226$$

Gantikan 226 dengan b dalam a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{16}{21}\times 226+\frac{17}{21}$$

Darabkan \frac{16}{21} kali 226.

$$a=\frac{3616+17}{21}$$

Tambahkan \frac{17}{21} pada \frac{3616}{21} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=173$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=173,b=226$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 28, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Tambahkan 7 dan 4 untuk dapatkan 11.

$$21a+11-16b=28$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$21a-16b=28-11$$

Tolak 11 daripada 28 untuk mendapatkan 17.

$$21a-16b=17$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$4a-2-3b=12$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$4a-3b=12+2$$

Tambahkan 12 dan 2 untuk dapatkan 14.

$$4a-3b=14$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&-\frac{-16}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\\-\frac{4}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&\frac{21}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&16\\-4&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 17+16\times 14\\-4\times 17+21\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}173\\226\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=173,b=226$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 28, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -4 dengan 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Tambahkan 7 dan 4 untuk dapatkan 11.

$$21a+11-16b=28$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah.

$$21a-16b=28-11$$

Tolak 11 daripada 28 untuk mendapatkan 17.

$$21a-16b=17$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$4a-2-3b=12$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$4a-3b=12+2$$

Tambahkan 12 dan 2 untuk dapatkan 14.

$$4a-3b=14$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Untuk menjadikan 21a dan 4a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 21.

$$4\times 21a+4\left(-16\right)b=4\times 17,21\times 4a+21\left(-3\right)b=21\times 14$$

Permudahkan.

$$84a-64b=68,84a-63b=294$$

Tolak 84a-63b=294 daripada 84a-64b=68 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$84a-84a-64b+63b=68-294$$

Tambahkan 84a pada -84a. Seubtan 84a dan -84a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-64b+63b=68-294$$

Tambahkan -64b pada 63b.

$$-b=68-294$$

Tambahkan 68 pada -294.

$$-b=-226$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$b=226$$

Gantikan 226 dengan b dalam 4a-3b=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$4a-3\times 226=14$$

Darabkan -3 kali 226.

$$4a-678=14$$

Tambahkan 678 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4a=692$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=173$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=173,b=226$$