Selesaikan {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 50, gandaan sepunya terkecil sebanyak 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Darabkan 2 dan 27 untuk mendapatkan 54.

$$54x+45y=50400$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$54x+45y=50400$$

Tolak 45y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$54x=-45y+50400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Darabkan \frac{1}{54} kali -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Gantikan -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} dengan x dalam persamaan lain, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Darabkan \frac{11}{10} kali -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Tambahkan -\frac{11y}{12} pada \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Tolak \frac{3080}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{461}{60} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{80}{461}$$

Gantikan \frac{80}{461} dengan y dalam x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{6} dengan \frac{80}{461} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Tambahkan \frac{2800}{3} pada -\frac{200}{1383} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 50, gandaan sepunya terkecil sebanyak 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Darabkan 2 dan 27 untuk mendapatkan 54.

$$54x+45y=50400$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 50, gandaan sepunya terkecil sebanyak 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Darabkan 2 dan 27 untuk mendapatkan 54.

$$54x+45y=50400$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Untuk menjadikan 54x dan \frac{11x}{10} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{11}{10} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Permudahkan.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Tolak \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 daripada \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Tambahkan \frac{297x}{5} pada -\frac{297x}{5}. Seubtan \frac{297x}{5} dan -\frac{297x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Tambahkan \frac{99y}{2} pada -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Tambahkan 55440 pada -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4149}{10} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{80}{461}$$

Gantikan \frac{80}{461} dengan y dalam \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Darabkan \frac{43}{5} dengan \frac{80}{461} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Tolak \frac{688}{461} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{10} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$