Selesaikan {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Gabungkan 8x dan -3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Gabungkan -4y dan 6y untuk mendapatkan 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tolak 9 daripada 12 untuk mendapatkan 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$5x+2y=48-3$$

Tolak 3 daripada 48 untuk mendapatkan 45.

$$5x+2y=45$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Gabungkan 9x dan 16x untuk mendapatkan 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Gabungkan -12y dan -8y untuk mendapatkan -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tolak 36 daripada 9 untuk mendapatkan -27.

$$25x-20y-27=48$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$25x-20y=48+27$$

Tambahkan 48 dan 27 untuk dapatkan 75.

$$25x-20y=75$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=45$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Gantikan -\frac{2y}{5}+9 dengan x dalam persamaan lain, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Darabkan 25 kali -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Tambahkan -10y pada -20y.

$$-30y+225=75$$

Tolak 225 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-30y=-150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Darabkan -\frac{2}{5} kali 5.

$$x=-2+9$$

Tambahkan 9 pada -2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Gabungkan 8x dan -3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Gabungkan -4y dan 6y untuk mendapatkan 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tolak 9 daripada 12 untuk mendapatkan 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$5x+2y=48-3$$

Tolak 3 daripada 48 untuk mendapatkan 45.

$$5x+2y=45$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Gabungkan 9x dan 16x untuk mendapatkan 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Gabungkan -12y dan -8y untuk mendapatkan -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tolak 36 daripada 9 untuk mendapatkan -27.

$$25x-20y-27=48$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$25x-20y=48+27$$

Tambahkan 48 dan 27 untuk dapatkan 75.

$$25x-20y=75$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Gabungkan 8x dan -3x untuk mendapatkan 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Gabungkan -4y dan 6y untuk mendapatkan 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tolak 9 daripada 12 untuk mendapatkan 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$5x+2y=48-3$$

Tolak 3 daripada 48 untuk mendapatkan 45.

$$5x+2y=45$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Gabungkan 9x dan 16x untuk mendapatkan 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Gabungkan -12y dan -8y untuk mendapatkan -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tolak 36 daripada 9 untuk mendapatkan -27.

$$25x-20y-27=48$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah.

$$25x-20y=48+27$$

Tambahkan 48 dan 27 untuk dapatkan 75.

$$25x-20y=75$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Untuk menjadikan 5x dan 25x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 25 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Permudahkan.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Tolak 125x-100y=375 daripada 125x+50y=1125 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Tambahkan 125x pada -125x. Seubtan 125x dan -125x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$50y+100y=1125-375$$

Tambahkan 50y pada 100y.

$$150y=1125-375$$

Tambahkan 1125 pada -375.

$$150y=750$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 150.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 25x-20y=75. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$25x-20\times 5=75$$

Darabkan -20 kali 5.

$$25x-100=75$$

Tambahkan 100 pada kedua-dua belah persamaan.

$$25x=175$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=5$$