Selesaikan {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan \frac{2}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+3-3y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$2x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2y dengan x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Gabungkan 2xy dan -2yx untuk mendapatkan 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-6y=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{3y-5}{2} dengan x dalam persamaan lain, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Darabkan -7 kali \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Tolak \frac{35}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{33}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Tambahkan -\frac{5}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan \frac{2}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+3-3y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$2x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2y dengan x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Gabungkan 2xy dan -2yx untuk mendapatkan 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-6y=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan \frac{2}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+3-3y=-2$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=-2-3$$

Tolak 3 daripada -2 untuk mendapatkan -5.

$$2x-3y=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2y dengan x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Gabungkan 2xy dan -2yx untuk mendapatkan 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-6y=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Untuk menjadikan 2x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Permudahkan.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Tolak -14x-12y=2 daripada -14x+21y=35 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Tambahkan -14x pada 14x. Seubtan -14x dan 14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y+12y=35-2$$

Tambahkan 21y pada 12y.

$$33y=35-2$$

Tambahkan 35 pada -2.

$$33y=33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 33.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -7x-6y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x-6=1$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=1$$