Selesaikan {l}{2/3x=3/4y}{x+y=182}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { x + y = 182 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{1638}{17} = 96\frac{6}{17} \approx 96.352941176$$

$$y = \frac{1456}{17} = 85\frac{11}{17} \approx 85.647058824$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{3}{4}y$$

Darabkan \frac{3}{2} kali \frac{3y}{4}.

$$x=\frac{9}{8}y$$

Gantikan \frac{9y}{8} dengan x dalam persamaan lain, x+y=182.

$$\frac{9}{8}y+y=182$$

Tambahkan \frac{9y}{8} pada y.

$$\frac{17}{8}y=182$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1456}{17}$$

Gantikan \frac{1456}{17} dengan y dalam x=\frac{9}{8}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{9}{8}\times \frac{1456}{17}$$

Darabkan \frac{9}{8} dengan \frac{1456}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1638}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{17}&\frac{9}{17}\\-\frac{12}{17}&\frac{8}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\182\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{17}\times 182\\\frac{8}{17}\times 182\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1638}{17}\\\frac{1456}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{3}{4}y daripada kedua-dua belah.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,x+y=182$$

Untuk menjadikan \frac{2x}{3} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}\times 182$$

Permudahkan.

$$\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{364}{3}$$

Tolak \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y=\frac{364}{3} daripada \frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-\frac{364}{3}$$

Tambahkan \frac{2x}{3} pada -\frac{2x}{3}. Seubtan \frac{2x}{3} dan -\frac{2x}{3} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-\frac{364}{3}$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-\frac{364}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{12} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1456}{17}$$

Gantikan \frac{1456}{17} dengan y dalam x+y=182. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{1456}{17}=182$$

Tolak \frac{1456}{17} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1638}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1638}{17},y=\frac{1456}{17}$$