Selesaikan {l}{11/6x-7-1/3y=7}{11/6y-7/2-frac{1}{3}x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 11 } { 6 } x - 7 - \frac { 1 } { 3 } y = 7 } \\ { \frac { 11 } { 6 } y - \frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{322}{39} = 8\frac{10}{39} \approx 8.256410256$$

$$y = \frac{133}{39} = 3\frac{16}{39} \approx 3.41025641$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y=14$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{6}x=\frac{1}{3}y+14$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{6}{11}\left(\frac{1}{3}y+14\right)$$

Darabkan \frac{6}{11} kali \frac{y}{3}+14.

$$x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}$$

Gantikan \frac{84+2y}{11} dengan x dalam persamaan lain, -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}\right)+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali \frac{84+2y}{11}.

$$-\frac{2}{33}y-\frac{28}{11}+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

Tambahkan -\frac{2y}{33} pada \frac{11y}{6}.

$$\frac{39}{22}y-\frac{28}{11}-\frac{7}{2}=0$$

Tambahkan -\frac{28}{11} pada -\frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{39}{22}y-\frac{133}{22}=0$$

Tambahkan \frac{133}{22} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{39}{22}y=\frac{133}{22}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{39}{22} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{133}{39}$$

Gantikan \frac{133}{39} dengan y dalam x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{11}\times \frac{133}{39}+\frac{84}{11}$$

Darabkan \frac{2}{11} dengan \frac{133}{39} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{266}{429}+\frac{84}{11}$$

Tambahkan \frac{84}{11} pada \frac{266}{429} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{322}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{4}{39}&\frac{22}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}\times 14+\frac{4}{39}\times \frac{7}{2}\\\frac{4}{39}\times 14+\frac{22}{39}\times \frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{322}{39}\\\frac{133}{39}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

Untuk menjadikan \frac{11x}{6} dan -\frac{x}{3} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{1}{3} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{11}{6}.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{11}{6}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y-\frac{1}{3}\left(-7\right)=-\frac{1}{3}\times 7,\frac{11}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}y+\frac{11}{6}\left(-\frac{7}{2}\right)=0$$

Permudahkan.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3},-\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0$$

Tolak -\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0 daripada -\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan -\frac{11x}{18} pada \frac{11x}{18}. Seubtan -\frac{11x}{18} dan \frac{11x}{18} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{y}{9} pada -\frac{121y}{36}.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada \frac{77}{12} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{35}{4}=-\frac{7}{3}$$

Tolak \frac{35}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{133}{12}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{133}{39}$$

Gantikan \frac{133}{39} dengan y dalam -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}\times \frac{133}{39}-\frac{7}{2}=0$$

Darabkan \frac{11}{6} dengan \frac{133}{39} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1463}{234}-\frac{7}{2}=0$$

Tambahkan \frac{1463}{234} pada -\frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{322}{117}=0$$

Tolak \frac{322}{117} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{322}{117}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=\frac{322}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$