Selesaikan {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Darabkan 5 kali x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Gantikan 5x+\frac{5}{2} dengan y dalam persamaan lain, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Tambahkan -\frac{5x}{2} pada 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{45}{2}$$

Gantikan \frac{45}{2} dengan x dalam y=5x+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

Darabkan 5 kali \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{225}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=115$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Untuk menjadikan \frac{y}{5} dan -\frac{y}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -\frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{5}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Permudahkan.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Tolak -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 daripada -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Tambahkan -\frac{y}{10} pada \frac{y}{10}. Seubtan -\frac{y}{10} dan \frac{y}{10} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Tambahkan -\frac{1}{4} pada -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=\frac{45}{2}$$

Gantikan \frac{45}{2} dengan x dalam -\frac{1}{2}y+3x=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

Darabkan 3 kali \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Tolak \frac{135}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=115$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$