Selesaikan {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

Gantikan \frac{4y}{3}+10 dengan x dalam persamaan lain, x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada 3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Gantikan -\frac{12}{13} dengan y dalam x=\frac{4}{3}y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

Darabkan \frac{4}{3} dengan -\frac{12}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

Tambahkan 10 pada -\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Untuk menjadikan \frac{x}{2} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

Tolak \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 daripada \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada -\frac{x}{2}. Seubtan \frac{x}{2} dan -\frac{x}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Gantikan -\frac{12}{13} dengan y dalam x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

Darabkan 3 kali -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

Tambahkan \frac{36}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{114}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$