Selesaikan {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 1+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Gabungkan 6x dan -8x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Tambahkan 20y pada kedua-dua belah.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Gabungkan -2y dan 20y untuk mendapatkan 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+18y=-21+1$$

Tambahkan -21 dan 1 untuk dapatkan -20.

$$-2x+18y=-20$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+18y=-20$$

Tolak 18y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-18y-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -18y-20.

$$x=9y+10$$

Gantikan 9y+10 dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Tambahkan \frac{9y}{5} pada \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{73}{35} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=9y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Darabkan 9 kali -1.

$$x=-9+10$$

Tambahkan 10 pada -9.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 1+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Gabungkan 6x dan -8x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Tambahkan 20y pada kedua-dua belah.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Gabungkan -2y dan 20y untuk mendapatkan 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+18y=-21+1$$

Tambahkan -21 dan 1 untuk dapatkan -20.

$$-2x+18y=-20$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 12, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 1+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Gabungkan 6x dan -8x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Tambahkan 20y pada kedua-dua belah.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Gabungkan -2y dan 20y untuk mendapatkan 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$-2x+18y=-21+1$$

Tambahkan -21 dan 1 untuk dapatkan -20.

$$-2x+18y=-20$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Untuk menjadikan -2x dan \frac{x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{5} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Permudahkan.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Tolak -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} daripada -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Tambahkan -\frac{2x}{5} pada \frac{2x}{5}. Seubtan -\frac{2x}{5} dan \frac{2x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Tambahkan -4 pada -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{146}{35} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Darabkan \frac{2}{7} kali -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Tambahkan \frac{2}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$