Selesaikan {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=10-15$$

Tolak 15 daripada 10 untuk mendapatkan -5.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$6-4x-y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-4x-y=-6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=-5$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x-5$$

Gantikan 3x-5 dengan y dalam persamaan lain, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Darabkan -1 kali 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Tambahkan -3x pada -4x.

$$-7x+5=-6$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Gantikan \frac{11}{7} dengan x dalam y=3x-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Darabkan 3 kali \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Tambahkan -5 pada \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=10-15$$

Tolak 15 daripada 10 untuk mendapatkan -5.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$6-4x-y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-4x-y=-6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 15 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=10-15$$

Tolak 15 daripada 10 untuk mendapatkan -5.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$6-4x-y=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-4x-y=-6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Untuk menjadikan y dan -y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Permudahkan.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Tolak -y-4x=-6 daripada -y+3x=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x+4x=5+6$$

Tambahkan 3x pada 4x.

$$7x=5+6$$

Tambahkan 5 pada 6.

$$7x=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Gantikan \frac{11}{7} dengan x dalam -y-4x=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Darabkan -4 kali \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Tambahkan \frac{44}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$