Selesaikan {c}{y=2x+16}{-3x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x + 16 } \\ { - 3 x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-4$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=16$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=16$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x+16$$

Gantikan 16+2x dengan y dalam persamaan lain, y-3x=20.

$$2x+16-3x=20$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x+16=20$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam y=2x+16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\left(-4\right)+16$$

Darabkan 2 kali -4.

$$y=-8+16$$

Tambahkan 16 pada -8.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=16$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-2\times 20\\16-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=8,x=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=16$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Tolak y-3x=20 daripada y-2x=16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-2x+3x=16-20$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x+3x=16-20$$

Tambahkan -2x pada 3x.

$$x=16-20$$

Tambahkan 16 pada -20.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam y-3x=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3\left(-4\right)=20$$

Darabkan -3 kali -4.

$$y+12=20$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=-4$$