Selesaikan {c}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.5x daripada kedua-dua belah.

$$y-0.5x=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-0.5x=2$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=0.5x+2$$

Gantikan \frac{x}{2}+2 dengan y dalam persamaan lain, 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

Darabkan 3 kali \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

Tambahkan \frac{3x}{2} pada x.

$$2.5x+6=1$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2.5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam y=0.5x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

Darabkan 0.5 kali -2.

$$y=-1+2$$

Tambahkan 2 pada -1.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.5x daripada kedua-dua belah.

$$y-0.5x=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 0.5x daripada kedua-dua belah.

$$y-0.5x=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Untuk menjadikan y dan 3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Permudahkan.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

Tolak 3y+x=1 daripada 3y-1.5x=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-1.5x-x=6-1$$

Tambahkan -\frac{3x}{2} pada -x.

$$-2.5x=6-1$$

Tambahkan 6 pada -1.

$$-2.5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -2.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam 3y+x=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3y-2=1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-2$$