Selesaikan {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+3x=1$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3x+1$$

Gantikan -3x+1 dengan y dalam persamaan lain, y-x=-7.

$$-3x+1-x=-7$$

Tambahkan -3x pada -x.

$$-4x+1=-7$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=-3x+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-3\times 2+1$$

Darabkan -3 kali 2.

$$y=-6+1$$

Tambahkan 1 pada -6.

$$y=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-5,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-5,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Tolak y-x=-7 daripada y+3x=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x+x=1+7$$

Tambahkan 3x pada x.

$$4x=1+7$$

Tambahkan 1 pada 7.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y-x=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2=-7$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-5,x=2$$