Selesaikan {c}{y=1/3x+7}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

Gantikan \frac{x}{3}+7 dengan y dalam persamaan lain, y+x=3.

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

Tambahkan \frac{x}{3} pada x.

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{3}x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam y=\frac{1}{3}x+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -3.

$$y=-1+7$$

Tambahkan 7 pada -1.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak \frac{1}{3}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Tolak y+x=3 daripada y-\frac{1}{3}x=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Tambahkan -\frac{x}{3} pada -x.

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

Tambahkan 7 pada -3.

$$-\frac{4}{3}x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam y+x=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3=3$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=-3$$