Selesaikan {c}{x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{4}=7}{3x_{1}+10x_{2}-3x_{3}+6x_{4}=21}

$$\left. \begin{array} { c } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } - x _ { 3 } + 2 x _ { 4 } = 7 } \\ { 3 x _ { 1 } + 10 x _ { 2 } - 3 x _ { 3 } + 6 x _ { 4 } = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x_1, x_2

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

$$x_{2}=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x_{1} dengan mengasingkan x_{1} di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7$$

Tolak -x_{3}+2x_{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x_{1}+3x_{2}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Tolak 3x_{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7$$

Gantikan -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4} dengan x_{1} dalam persamaan lain, 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21.

$$3\left(-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7\right)+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Darabkan 3 kali -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4}.

$$-9x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Tambahkan -9x_{2} pada 10x_{2}.

$$x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Tambahkan 21+3x_{3}-6x_{4} pada -3x_{3}+6x_{4}.

$$x_{2}+21=21$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x_{2}=0$$

Gantikan 0 dengan x_{2} dalam x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x_{1}.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-3\times 3}&-\frac{3}{10-3\times 3}\\-\frac{3}{10-3\times 3}&\frac{1}{10-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)-3\left(3x_{3}-6x_{4}+21\right)\\-3\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)+3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x_{1} dan x_{2}.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Untuk menjadikan x_{1} dan 3x_{1} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x_{1}+3\times 3x_{2}+3\left(2x_{4}-x_{3}\right)=3\times 7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Permudahkan.

$$3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Tolak 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 daripada 3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x_{1}-3x_{1}+9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Tambahkan 3x_{1} pada -3x_{1}. Seubtan 3x_{1} dan -3x_{1} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Tambahkan 9x_{2} pada -10x_{2}.

$$-x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Tambahkan -3x_{3}+6x_{4} pada 3x_{3}-6x_{4}.

$$-x_{2}=21-21$$

Tambahkan 21 pada -21.

$$-x_{2}=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x_{2}=0$$

Gantikan 0 dengan x_{2} dalam 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x_{1}.

$$3x_{1}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Tolak -3x_{3}+6x_{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x_{1}=3x_{3}-6x_{4}+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$