Selesaikan {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=6$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+6$$

Gantikan 6+3y dengan x dalam persamaan lain, -8x-y=6.

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

Darabkan -8 kali 6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

Tambahkan -24y pada -y.

$$-25y-48=6$$

Tambahkan 48 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-25y=54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Gantikan -\frac{54}{25} dengan y dalam x=3y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

Darabkan 3 kali -\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Untuk menjadikan x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

Permudahkan.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

Tolak -8x-y=6 daripada -8x+24y=-48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y+y=-48-6$$

Tambahkan 24y pada y.

$$25y=-48-6$$

Tambahkan -48 pada -6.

$$25y=-54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Gantikan -\frac{54}{25} dengan y dalam -8x-y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

Tolak \frac{54}{25} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$