Selesaikan {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$x-5=4y-20$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$x-5-4y=-20$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-4y=-20+5$$

Tambahkan -20 dan 5 untuk dapatkan -15.

$$x-4y=-15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3y+2$$

Gantikan 3y+2 dengan x dalam persamaan lain, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

Tambahkan 3y pada -4y.

$$-y+2=-15$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=17$$

Gantikan 17 dengan y dalam x=3y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times 17+2$$

Darabkan 3 kali 17.

$$x=51+2$$

Tambahkan 2 pada 51.

$$x=53$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=53,y=17$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$x-5=4y-20$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$x-5-4y=-20$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-4y=-20+5$$

Tambahkan -20 dan 5 untuk dapatkan -15.

$$x-4y=-15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=53,y=17$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan y-5.

$$x-5=4y-20$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$x-5-4y=-20$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah.

$$x-4y=-20+5$$

Tambahkan -20 dan 5 untuk dapatkan -15.

$$x-4y=-15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Tolak x-4y=-15 daripada x-3y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+4y=2+15$$

Tambahkan -3y pada 4y.

$$y=2+15$$

Tambahkan 2 pada 15.

$$y=17$$

Gantikan 17 dengan y dalam x-4y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-4\times 17=-15$$

Darabkan -4 kali 17.

$$x-68=-15$$

Tambahkan 68 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=53$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=53,y=17$$