Selesaikan {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 23y daripada kedua-dua belah.

$$2x+y-23y=0$$

Gabungkan y dan -23y untuk mendapatkan -22y.

$$2x-22y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=89$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+89$$

Gantikan -y+89 dengan x dalam persamaan lain, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Darabkan 2 kali -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Tambahkan -2y pada -22y.

$$-24y+178=0$$

Tolak 178 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-24y=-178$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Gantikan \frac{89}{12} dengan y dalam x=-y+89. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Tambahkan 89 pada -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 23y daripada kedua-dua belah.

$$2x+y-23y=0$$

Gabungkan y dan -23y untuk mendapatkan -22y.

$$2x-22y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 23y daripada kedua-dua belah.

$$2x+y-23y=0$$

Gabungkan y dan -23y untuk mendapatkan -22y.

$$2x-22y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Permudahkan.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Tolak 2x-22y=0 daripada 2x+2y=178 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+22y=178$$

Tambahkan 2y pada 22y.

$$24y=178$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Gantikan \frac{89}{12} dengan y dalam 2x-22y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Darabkan -22 kali \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Tambahkan \frac{979}{6} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$