Selesaikan {c}{x+y=8a}{4x+8y=60}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=8a$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+8a$$

Gantikan -y+8a dengan x dalam persamaan lain, 4x+8y=60.

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

Darabkan 4 kali -y+8a.

$$-4y+32a+8y=60$$

Tambahkan -4y pada 8y.

$$4y+32a=60$$

Tolak 32a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=60-32a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=15-8a$$

Gantikan 15-8a dengan y dalam x=-y+8a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

Darabkan -1 kali 15-8a.

$$x=8a-15+8a$$

Tambahkan 8a pada -15+8a.

$$x=16a-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

Permudahkan.

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

Tolak 4x+8y=60 daripada 4x+4y=32a dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-8y=32a-60$$

Tambahkan 4y pada -8y.

$$-4y=32a-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=15-8a$$

Gantikan 15-8a dengan y dalam 4x+8y=60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

Darabkan 8 kali 15-8a.

$$4x+120-64a=60$$

Tolak 120-64a daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=64a-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=16a-15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=16a-15,y=15-8a$$