Selesaikan {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=8$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+8$$

Gantikan -y+8 dengan x dalam persamaan lain, 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Darabkan 40 kali -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Tambahkan -40y pada 55y.

$$15y+320=410$$

Tolak 320 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15y=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-6+8$$

Tambahkan 8 pada -6.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Untuk menjadikan x dan 40x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 40 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Permudahkan.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Tolak 40x+55y=410 daripada 40x+40y=320 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Tambahkan 40x pada -40x. Seubtan 40x dan -40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y-55y=320-410$$

Tambahkan 40y pada -55y.

$$-15y=320-410$$

Tambahkan 320 pada -410.

$$-15y=-90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 40x+55y=410. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$40x+55\times 6=410$$

Darabkan 55 kali 6.

$$40x+330=410$$

Tolak 330 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40x=80$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=6$$