Selesaikan {c}{x+y=69}{2x+y=23}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-46$$

$$y=115$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=69$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+69$$

Gantikan -y+69 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=23.

$$2\left(-y+69\right)+y=23$$

Darabkan 2 kali -y+69.

$$-2y+138+y=23$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+138=23$$

Tolak 138 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-115$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=115$$

Gantikan 115 dengan y dalam x=-y+69. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-115+69$$

Tambahkan 69 pada -115.

$$x=-46$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-46,y=115$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+23\\2\times 69-23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\115\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-46,y=115$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Tolak 2x+y=23 daripada x+y=69 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-2x+y-y=69-23$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x-2x=69-23$$

Tambahkan x pada -2x.

$$-x=69-23$$

Tambahkan 69 pada -23.

$$-x=46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-46$$

Gantikan -46 dengan x dalam 2x+y=23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\left(-46\right)+y=23$$

Darabkan 2 kali -46.

$$-92+y=23$$

Tambahkan 92 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=115$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-46,y=115$$