Selesaikan {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=64$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+64$$

Gantikan -y+64 dengan x dalam persamaan lain, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

Darabkan 12 kali -y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

Tambahkan -12y pada 26y.

$$14y+768=19$$

Tolak 768 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$14y=-749$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Gantikan -\frac{107}{2} dengan y dalam x=-y+64. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

Darabkan -1 kali -\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

Tambahkan 64 pada \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Untuk menjadikan x dan 12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

Permudahkan.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

Tolak 12x+26y=19 daripada 12x+12y=768 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-26y=768-19$$

Tambahkan 12y pada -26y.

$$-14y=768-19$$

Tambahkan 768 pada -19.

$$-14y=749$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Gantikan -\frac{107}{2} dengan y dalam 12x+26y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

Darabkan 26 kali -\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

Tambahkan 1391 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=1410$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{235}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$