Selesaikan {c}{x+y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+5$$

Gantikan -y+5 dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=-3.

$$2\left(-y+5\right)-y=-3$$

Darabkan 2 kali -y+5.

$$-2y+10-y=-3$$

Tambahkan -2y pada -y.

$$-3y+10=-3$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{13}{3} dengan y dalam x=-y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{13}{3}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{13}{3}.

$$x=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Untuk menjadikan x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2x+2y=2\times 5,2x-y=-3$$

Permudahkan.

$$2x+2y=10,2x-y=-3$$

Tolak 2x-y=-3 daripada 2x+2y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+2y+y=10+3$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+y=10+3$$

Tambahkan 2y pada y.

$$3y=10+3$$

Tambahkan 10 pada 3.

$$3y=13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{13}{3} dengan y dalam 2x-y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\frac{13}{3}=-3$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{4}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$