Selesaikan {c}{x+y=3600}{4x+2y=11000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 3600 } \\ { 4 x + 2 y = 11000 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1900$$

$$y=1700$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=3600$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+3600$$

Gantikan -y+3600 dengan x dalam persamaan lain, 4x+2y=11000.

$$4\left(-y+3600\right)+2y=11000$$

Darabkan 4 kali -y+3600.

$$-4y+14400+2y=11000$$

Tambahkan -4y pada 2y.

$$-2y+14400=11000$$

Tolak 14400 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-3400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=1700$$

Gantikan 1700 dengan y dalam x=-y+3600. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1700+3600$$

Tambahkan 3600 pada -1700.

$$x=1900$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1900,y=1700$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3600+\frac{1}{2}\times 11000\\2\times 3600-\frac{1}{2}\times 11000\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1900\\1700\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1900,y=1700$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Untuk menjadikan x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4x+4y=4\times 3600,4x+2y=11000$$

Permudahkan.

$$4x+4y=14400,4x+2y=11000$$

Tolak 4x+2y=11000 daripada 4x+4y=14400 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y-2y=14400-11000$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-2y=14400-11000$$

Tambahkan 4y pada -2y.

$$2y=14400-11000$$

Tambahkan 14400 pada -11000.

$$2y=3400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=1700$$

Gantikan 1700 dengan y dalam 4x+2y=11000. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+2\times 1700=11000$$

Darabkan 2 kali 1700.

$$4x+3400=11000$$

Tolak 3400 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=7600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=1900$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1900,y=1700$$