Selesaikan {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=21$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+21$$

Gantikan -y+21 dengan x dalam persamaan lain, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Darabkan 0.25 kali -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Tambahkan -\frac{y}{4} pada \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Tolak 5.25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.2y=-1.9$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=9.5$$

Gantikan 9.5 dengan y dalam x=-y+21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-9.5+21$$

Tambahkan 21 pada -9.5.

$$x=11.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11.5,y=9.5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Untuk menjadikan x dan \frac{x}{4} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.25 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Permudahkan.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Tolak 0.25x+0.05y=3.35 daripada 0.25x+0.25y=5.25 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Tambahkan \frac{x}{4} pada -\frac{x}{4}. Seubtan \frac{x}{4} dan -\frac{x}{4} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Tambahkan \frac{y}{4} pada -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Tambahkan 5.25 pada -3.35 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$0.2y=1.9$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=9.5$$

Gantikan 9.5 dengan y dalam 0.25x+0.05y=3.35. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Darabkan 0.05 dengan 9.5 dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Tolak 0.475 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.25x=2.875$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=11.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=11.5,y=9.5$$