Selesaikan {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-11, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$y-22-x+11=36$$

Tambahkan -22 dan 11 untuk dapatkan -11.

$$y-11-x=36$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah.

$$y-x=36+11$$

Tambahkan 36 dan 11 untuk dapatkan 47.

$$y-x=47$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=122$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+122$$

Gantikan -y+122 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Darabkan -1 kali -y+122.

$$y-122+y=47$$

Tambahkan y pada y.

$$2y-122=47$$

Tambahkan 122 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=169$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

Gantikan \frac{169}{2} dengan y dalam x=-y+122. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Tambahkan 122 pada -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-11, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$y-22-x+11=36$$

Tambahkan -22 dan 11 untuk dapatkan -11.

$$y-11-x=36$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah.

$$y-x=36+11$$

Tambahkan 36 dan 11 untuk dapatkan 47.

$$y-x=47$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-11, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$y-22-x+11=36$$

Tambahkan -22 dan 11 untuk dapatkan -11.

$$y-11-x=36$$

Tambahkan 11 pada kedua-dua belah.

$$y-x=36+11$$

Tambahkan 36 dan 11 untuk dapatkan 47.

$$y-x=47$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Tolak -x+y=47 daripada x+y=122 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+x+y-y=122-47$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+x=122-47$$

Tambahkan x pada x.

$$2x=122-47$$

Tambahkan 122 pada -47.

$$2x=75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

Gantikan \frac{75}{2} dengan x dalam -x+y=47. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Tambahkan \frac{75}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{169}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$