Selesaikan {c}{x+y=11}{2y+x=17}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 11 } \\ { 2 y + x = 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=11,x+2y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=11$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+11$$

Gantikan -y+11 dengan x dalam persamaan lain, x+2y=17.

$$-y+11+2y=17$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y+11=17$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-y+11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-6+11$$

Tambahkan 11 pada -6.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=11,x+2y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 11-17\\-11+17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=11,x+2y=17$$

Tolak x+2y=17 daripada x+y=11 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y-2y=11-17$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=11-17$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=11-17$$

Tambahkan 11 pada -17.

$$-y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x+2y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times 6=17$$

Darabkan 2 kali 6.

$$x+12=17$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=6$$