Selesaikan {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+5y=54$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-5y+54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Gantikan \frac{-5y+54}{7} dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

Darabkan 3 kali \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

Tambahkan -\frac{15y}{7} pada 4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Tolak \frac{162}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

Darabkan -\frac{5}{7} kali 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Tambahkan \frac{54}{7} pada -\frac{40}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Untuk menjadikan 7x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Permudahkan.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Tolak 21x+28y=266 daripada 21x+15y=162 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

Tambahkan 21x pada -21x. Seubtan 21x dan -21x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-28y=162-266$$

Tambahkan 15y pada -28y.

$$-13y=162-266$$

Tambahkan 162 pada -266.

$$-13y=-104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam 3x+4y=38. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\times 8=38$$

Darabkan 4 kali 8.

$$3x+32=38$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=8$$