Selesaikan {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Gantikan \frac{y}{4}+1 dengan x dalam persamaan lain, -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

Darabkan -12 kali \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

Tambahkan -3y pada 2y.

$$-y-12=-3$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{9}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Untuk menjadikan 4x dan -12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

Tolak -48x+8y=-12 daripada -48x+12y=-48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

Tambahkan -48x pada 48x. Seubtan -48x dan 48x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-8y=-48+12$$

Tambahkan 12y pada -8y.

$$4y=-48+12$$

Tambahkan -48 pada 12.

$$4y=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam -12x+2y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

Darabkan 2 kali -9.

$$-12x-18=-3$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-12x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$